Resumen
Historia de los elementos finitos
Applicaciones de los elementos finitos
Principios Fisicos de los elementos finitos
Los elementos finitos son un método numérico utilizado para resolver problemas de mecánica, de difusión del calor, de mecánica de fluidos o de otros sectores. De hecho este método permite resolver todos los problemas que se expresan con ecuaciones diferenciales parciales. La eficacia de este método es que casi nunca hay soluciones analíticas a los problemas que se pueden encontrar en la industria. Pues los elementos finitos son la única alternativa a las pruebas para resolver estos problemas. Las empresas quieren utilizar cada vez más esta técnica porque gasta mucho menos tiempo y cuesta menos dinero que las pruebas.
La Malla
El método se basa en dividir el cuerpo, la estructura o medio continuo en muchas partes para aproximar de la mejor manera lo que occurre en la realidad. El conjunto de las partes que constituyen el cuerpo se llama la malla. El problema se separa en dos partes : las ecuaciones que se aplican a toda la malla y las condiciones a los límites que se aplican solo a las fronteras de la estructura o del cuerpo.
Malla triangular
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Principios matemáticos
Así como otros numerosos métodos numéricos, se plantean las cuestiones de calidad de discretización:
- la existencia de soluciones
- el carácter único de la solución
- la estabilidad
- la convergencia
- la medida de error entre una solución discreta y una solución única del problema inicial
El problema de la medida de error entre una solución discreta y una solución única del problema inicial es que en la mayor parte de los problemas la solución única no existe. Pues se puede comparar la solución discreta con resultados de pruebas reales. Así no se estima solo la precisión del calculo sino también toda la precisión de la modelización de la realidad.
La discretización pasa por la definición de un espacio de funciones pruebas adaptado, sobre el cual las soluciones de la formulación variacional de la ecuación seran exactas. Esto necesita la definición de la malla del dominio en cualquier tipo de fragmento: los elementos finitos. Estos fragmentos pueden por ejemplo ser de forma cualquiera pero deben formar un pavimento del espacio considerado. Habitualmente los elementos finitos son de forma triangular o rectangular.
El método más simple es a menudo los elementos finitos de Lagrange. En este método las funciones de base valen 1 a un nudo de la malla y 0 en las otras. La función de base de índice “i” entonces es la función que vale 1 al nudo “i” y 0 sobre otros nudos y que es lineal entre los nudos. Hay tantas funciones de base como el número de nudos dentro del maillage. la solución debe valer 1 en los lados porque verifica las condiciones de Dirichlet y es inútil asumir funciones de base que valen 1 sobre la frontera.
Otras soluciones pueden existir para las funciones de base. Aquí nombramos un solo ejemplo de los elementos fitintos de Hermite con la particularidad de tener dos funciones de base asociadas a cada nudo. En esta versión el valor de la solución se ajusta a la primera función mientras que la segunda permite ajustar el valor de la derivada. Este tipo de funciones de base puede tener un interés para la resolución de ciertas ecuaciones en las derivadas parciales (por ejemplo ecuación de las placas en mecánica de los medios continuos) aunque se necesita tener dos veces más funciones para ciertas mallas.
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